Question

已知函数f（x）=

1

2

+ln

x

1-x

．
（1）求证：存在定点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上，并求出点M的坐标；
（2）根据（1）的对称性质，定义S_n=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中已知条件可知函数f（x）上的点P和点Q关于点M对称，可根据f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，进而可以证明．
（Ⅱ）根据题中已知条件先求出S_n的表达式，进而将n=2011代入即可求出S₂₀₁₁的值．

解答：解：：（Ⅰ）由题意可知：函数定义域为（0，1）． 设点M的坐标为（a，b），
则由f（x）+f（2a-x）=

1

2

+ln

x

1-x

+

1

2

+ln

2a-x

1-2a+x

=1+ln

2ax-x2

-x2+2ax+1-2a

=2b，
对于x∈（0，1）恒成立，于是

1-2a=0 1=2b

，解得a=b=

1

2

．
所以存在定点M（

1

2

，

1

2

），使得函数f（x）的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1，
∵Sn=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-2

n

）+f（

n-1

n

）…①
∴Sn=f（1-

1

n

）+f（1-

2

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）…②
①+②，得2S_n=n-1，∴Sn=

n-1

2

（n≥2，n∈N*），
故S₂₀₁₁=1005．

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．