Question

数列1，（1+2），（1+2+2²），…，（1+2+2²+…+2^n-1）…的前n项和为（　　）

A．2ⁿ-1

B．n?2ⁿ-n

C．2ⁿ⁺¹-n

D．2ⁿ⁺¹-2-n

Answer 1

分析：由1+2+2²+…+2^n-1=

1×(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1可知，数列的前n项和为：（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n

解答：解：∵1+2+2²+…+2^n-1=

1×(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1
∴数列的前n项和为：1+（1+2）+（1+2+2²）+…+（1+2+2²+…+2^n-1）
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n
=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n
故选D

点评：本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题．