Question

(本小题满分14分)
设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点．
（1）求的取值范围；
（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（3）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：解：（1）由已知，，
∴方程组有实数解，从而，故 …2分
所以，即的取值范围是．                   ……………4分
（2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，
则
（）．                           ……………6分
∵，∴当时，，
于是，，解得 ．
∴所求椭圆方程为．                       ……………8分
（3）由得 （*）
∵直线与椭圆交于不同两点，　∴△，即．①  ………10分
设、，则、是方程（*）的两个实数解，
∴，∴线段的中点为，
又∵线段的垂直平分线恒过点，∴，
即，即（k）②          ……………12分
由①，②得，，又由②得，
∴实数的取值范围是．                            ……………14分
点评：本题第一小题也可这样来求解，椭圆跟y轴正半轴的交点为，若椭圆要与圆相交，则；第二小题可以结合椭圆的特点来求，当椭圆上的点是时，它到附近的焦点的距离就是最短距离；第三小题需要注意直线与椭圆相交时应满足的条件。