Question

已知f（x）=

2

（sinxcosx+cos²x-

1

2

），x∈[0，π]，当方程f（x）=a有两个不相等的实根x₁，x₂时：
（1）当a的取值范围；
（2）求x₁+x₂的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由x得范围求出2x+

π

4

的范围，根据正弦函数的图象求出a的取值范围；
（2）根据图象可得（2x1+

π

4

）+（2x2+

π

4

）=π，化简求出x₁+x₂的值．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=

2

（sinxcosx+cos²x-

1

2

）
=

2

（

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

）=

2

（

1

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=sin(2x+

π

4

)，
由x∈[0，π]得，2x+

π

4

∈[

π

4

，2π+

π

4

]，
因为方程f（x）=a有两个不相等的实根x₁，x₂，
所以由正弦函数的图象可得，

2

2

＜a＜1，
则a的取值范围是（

2

2

，1）；
（2）由图可得，（2x1+

π

4

）+（2x2+

π

4

）=π，
解得x₁+x₂=

π

4

．

点评：本题考查二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式，方程的根转化为函数图象的交点问题，以及正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想．