Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标，可得c，再求出b的值，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点，∴…（1分）
又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b=1，
∴椭圆的方程为…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y=k（x-1）
代入椭圆方程，消去y，可得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则…（5分）
∵
∴=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂===…（7分）
==…（9分）
当，即时，为定值…（10分）
当直线l的斜率不存在时，
由可得，∴
综上所述，当时，为定值…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．