Question

（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的一个公共点，且|PF|=2，倾斜角为的直线过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称.

【解析】

试题分析：(1)设P(x,y),因为|PF|=2,根据焦半径公式可求出x=1,代入抛物线方程可求点P的坐标.

再根据椭圆的定义：,求出a,已知c=1,从而可求出,故可得椭圆的方程.

（2）先求出直线的方程为，即,再求出椭圆的另一个焦点为,可根据点关于直线对称点的求法求出点F₁关于直线l的对称点M的坐标，然后代入抛物线方程判定点M是否在抛物线上，从而得到结论.

（1）抛物线的焦点为，………………………1分

设P(x,y)则|PF|=，故x=1，y=…………………3分

  ∴    ，      …………………5分

∴     …………………6分

∴   该椭圆的方程为      …………………7分

（2）∵ 倾斜角为的直线过点，

∴ 直线的方程为，即，…………………8分

由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，………9分

则得                     …………………10分

解得，即                     …………………11分

又满足，故点在抛物线上.   …………………13分

所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称.……………14分

考点：抛物线及椭圆的定义及标准方程，直线的方程，以及点关于直线的对称.

点评：圆锥曲线的定义是重要的解题工具要引起足够重视，利用它解题很多时候起到化繁为简，另辟捷径的作用.解本小题的第二问要掌握点关于直线的对称点的求法.