Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C₁C的交点为N.求

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（2）PC和NC的长；

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值.

Answer 1

解析：①正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

②将侧面BC₁旋转使其与侧面AC₁在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过CC₁到点M的最短路线。

设PC＝，则P₁C＝，

在

③连接PP₁，则PP₁就是NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC₁平面ABC，连结CH，由易证。