Question

已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.

(1)求的方程；

(2)是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）定义法求轨迹方程，已知两圆的圆心和半径，所求动圆与圆外切，圆心距为半径和，同时动圆与圆内切，圆心距为半径差，进一步得到动圆圆心到两个定点的距离之和为定值（大于两个定点的距离）（除去一点），所以得到其方程；（2）根据确定当圆的圆心为时，圆的半径最长，其方程为：，直线的斜率分情况讨论，当斜率不存在时求得的长；当斜率存在时，利用三角形相似，进而求得直线的斜率为，有因为与圆相切，进一步求得直线的方程，（1）中求得的联立，再利用弦长公式求得的长.

试题解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设圆的圆心为，半径为.(1)因为圆与圆外切并且与圆内切，所以

.由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为． （4分）

(2)对于曲线上任意一点，由于，所以，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为. （8分）

若的倾斜角为，则与轴重合，可得. （9分）

若的倾斜角不为，由知不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，所以可设．由与圆相切得，解得.当时，将代入，并整理得.解得.所以.当时，由图形的对称性可知.综上，或. （12分）

考点：1.定义法求轨迹方程；2.两圆外切，内切；3.弦长公式.