Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1(-

3

2

，0)、F2(

3

2

，0)，点P是第一象限内双曲线上的点，且tan∠PF1F2=

1

2

，tan∠PF₂F₁=-2，则双曲线的离心率为

3 5

5

．

Answer 1

分析：在△PF₁F₂中，根据正弦定理算出PF₁=2PF₂．根据tan∠PF₁F₂=

1

2

，tan∠PF₂F₁=-2，结合三角形内角和与两角和的正切公式，得到tan∠F₁PF₂值，从而算出cos∠F₁PF₂值，根据余弦定理得到PF12+PF22-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=3．将两式联解即得PF₁、PF₂的长，从而得到双曲线的2a值，最后用离心率的公式可求出双曲线的离心率．

解答：解：∵△PF₁F₂中，sin∠PF₁F₂═

5

5

，sin∠PF₁F₂═

2 5

5

，
∴由正弦定理得

PF1

PF2

=

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=2，…①
又∵tan∠PF1F2=

1

2

，tan∠PF₂F₁=-2，
∴tan∠F₁PF₂=-tan（∠PF₂F₁+∠PF₁F₂）=-

1 2 -2

1+ 1 2 ×2

=

3

4

，可得cos∠F₁PF₂=

4

5

，
△PF₁F₂中用余弦定理，得PF12+PF22-2PF₁•PF₂cos∠F₁PF₂=F1F22=3，…②
①②联解，得PF1=

2 15

3

，PF2=

15

3

，可得PF1-PF2=

15

3

，
∴双曲线的2a=

15

3

，结合2c=

3

，得离心率e=

2c

2a

=

3 5

5

故答案为：

3 5

5

点评：本题以求双曲线的离心率为载体，考查正余弦定理解三角形、两角和的正切公式和双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．