Question

已知函数．（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；
（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的定义域，然后利用奇函数的性质，可知f（0）=0可求a，即可
（2）先设x₁＜x₂，然后判断f（x₁）-f（x₂）的正负，从而可判断f（x₁）与f（x₂）的大小，即可证明
（3）由已知可得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3），结合f（x）为奇函数及f（x）在R上是增函数可得3m²-m+1＜3-2m，解不等式即可求解
解答：解：（1）∵3^x＞0
3^x+1≠0函数f（x）的定义域为 R即（-∞，+∞）…（1分）
假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由f（0）=0得解得a=1…（2分），
∴==
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵
f（x₁）-f（x₂）=
=
=
=…（7分）
∵x₁＜x₂，
∴
∴
又∵
f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴不论a取何值，函数f（x）在其定义域上都是增函数．…（9分）
（3）解：由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）
∵函数f（x）为奇函数
∴-f（2m-3）=f（3-2m）
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）
由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）?3m²-m+1＜3-2m
∴3m²+m-2＜0
∴（3m-2）（m+1）＜0
∴．
不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为．…（14分）
点评：本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性的定义在证明函数的单调性的应用，抽象函数的单调性在求解不等式中的应用，属于函数知识的综合应用．