Question

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出 f'（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程
（Ⅱ）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间
（III）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围
解答：（Ⅰ）解：当a=1时，，．    …（2分）
由 f'（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（3分）
（Ⅱ）解：对函数求导可得，                          …（4分）
①当a=0时，．
所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．          …（5分）
当a≠0，．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a，，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），；单调增区间是．  …（7分）
③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的单调增区间是；单调减区间是，（-a，+∞）．…（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0时不合题意．                       …（10分）
当a＞0时，由（Ⅱ）得，f（x）在单调递增，在单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值．
设x为f（x）的零点，易知，且．从而x＞x时，f（x）＞0；x＜x时，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1]．…（12分）
当a＜0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（-∞，-1]．
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．                    …（14分）
点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题