Question

7．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=3，则AB的取值范围是（$\frac{{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}}{2}，\frac{{3（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}}{2}$）．

Answer 1

分析 延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，设AD=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x，CD=m，再根据AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，以及0＜$\frac{1}{2}$x＜3，求得AB的范围．

解答 解：如图所示，延长BA，CD交于点E，则
在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴设AD=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x，CD=m，
∵BC=3，
∴（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m）sin15°=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m=$\frac{3}{2}（\sqrt{6}+\sqrt{2}）$，
∴0＜$\frac{1}{2}$x＜3，0＜x＜6，而AB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴AB的取值范围为：（$\frac{{3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}}{2}，\frac{{3（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}}{2}$）．

点评 本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．