设数列{an}的前n项和为Sn.Sn=2an-2..数列{bn}中.b1=1.b2=3.2bn+1=bn+bn+2.(1)求an和bn,(2)令Tn=$\frac{{b} {1}}{{a} {1}}$+$\frac{{b} {2}}{{a} {2}}$+-+$\frac{{b} {n}}{{a} {n}}$.是否存在正整数M使得Tn＜M对一切正整数n都成立?若存在.求出M的最小值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2，（n≥1，n∈N），数列{b_n}中，b₁=1，b₂=3，2b_n+1=b_n+b_n+2，（n≥1，n∈N）
（1）求a_n和b_n；
（2）令T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，是否存在正整数M使得T_n＜M对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）令c_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$，证明：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜c₁+c₂+…+c_n＜$\frac{n}{2}$，（n≥1，n∈N）

分析（1）运用数列的通项和前n项和的关系式，可得{a_n}是以2为公比、首项a₁=2的等比数列，即a_n=2ⁿ（n≥1，n∈N），再由等差数列的定义和通项公式可得b_n=2n-1；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$＜3，由不等式恒成立思想可得M的最小值为3；
（3）求得c_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$＜$\frac{1}{2}$，且c₁+c₂+…+c_n=$\frac{1}{2}$n-（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{14}$+$\frac{1}{30}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$）＞$\frac{1}{2}$n-（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$），运用不等式的性质和等比数列的求和公式即可得证．

解答解：（1）由题意得2a_n=S_n+2，即2a₁=S₁+2=a₁+2，
解得a₁=2，
由S_n=2a_n-2，S_n+1=2a_n+1-2，
相减可得a_n+1=S_n+1-S_n=2（a_n+1-a_n），即a_n+1=2a_n，
数列{a_n}是以2为公比、首项a₁=2的等比数列，
即a_n=2ⁿ（n≥1，n∈N），
b₁=1，b₂=3，2b_n+1=b_n+b_n+2，
即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n=…=b₂-b₁=2，
可得数列{b_n}是以2为公差、首项b₁=1的等差数列，
即b_n=2n-1（n∈N*）；
（2）T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=1•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
由T₁=$\frac{1}{2}$，T_n-T_n-1=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$-3+$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$＞0，
即T_n＞T_n-1，则T_n单调递增，即有T_n∈[$\frac{1}{2}$，3），
假设存在正整数M使得T_n＜M对一切正整数n都成立，
可得M≥3，即M的最小值为3；
（3）证明：c_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$＜$\frac{1}{2}$，
即有c₁+c₂+…+c_n＜$\frac{n}{2}$成立；
又c₁+c₂+…+c_n=$\frac{1}{2}$n-（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{14}$+$\frac{1}{30}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$）
＞$\frac{1}{2}$n-（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）
=$\frac{1}{2}$n-（$\frac{1}{6}$+$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$）
=$\frac{1}{2}$n-（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2•{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$．
综上可得，$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜c₁+c₂+…+c_n＜$\frac{n}{2}$，（n≥1，n∈N）．