Question

3．已知集合A的元素是由方程（a²-1）x²+2（a+1）x+1=0的实数解构成．
（1）若A为空集，求a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：a²-1=0时，解出之间验证即可判断出；a²-1≠0时，A为空集，可得△＜0，解出即可得出．
（2）由（1）可知：a=1时，A={-$\frac{1}{4}$}满足条件．a²-1≠0时，由△=0，解得a的范围即可判断出结论．
（3）由（1）（2）可知：a的取值范围．

解答 解：（1）a²-1=0时，解得a=±1．a=1时，方程化为：4x+1=0，解得a=-$\frac{1}{4}$，A={-$\frac{1}{4}$}≠∅，舍去．
a=-1时，方程化为：0+0+1=0，解得x∈∅，A=∅，因此a=-1满足条件．
a²-1≠0时，A为空集，∴△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0，解得：a＜-1．∴a的取值范围是（-∞，-1]．
（2）由（1）可知：a=1时，A={-$\frac{1}{4}$}满足条件．a²-1≠0时，由△=4（a+1）²-4（a²-1）=0，解得：a=-1，而此时A=∅，舍去．
综上可得：a的取值范围是{1}．
（3）由（1）（2）可知：a的取值范围是（-∞，-1]∪{1}．

点评 本题考查了元素与集合之间的关系、不等式解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．