Question

【题目】已知函数.

（1）若在时，有极值，求的值；

（2）在直线上是否存在点，使得过点至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，详见解析

【解析】

（1）求得，根据函数在取得极值，即可求解；

（2）不妨设点，设过点与相切的直线为，切点为，求得切线方程，根据直线过，转化为，设函数，转化为在区间上单调递增，即可求解.

（1）由题意，函数，则，

由在时，有极值，可得，

解得.

经检验，时，有极值.

综上可得.

（2）不妨设在直线上存在一点，

设过点与相切的直线为，切点为，

则切线方程为，

又直线过，有，

即，

设，则，

所以在区间上单调递增，所以至多有一个解，

过点与相切的直线至多有一条，

故在直线上不存在点，使得过至少有两条直线与曲线相切.