Question

【题目】已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”；

（1）判断函数，是否是“函数”；

（2）若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时的值域；

Answer 1

【答案】(1) 不是“函数”， ，是“函数” ;(2) ;(3)

【解析】

（1）分别假设两函数是“函数”，列出方程恒成立. 通过判断方程的解的个数判断出不是，对于对于列出方程恒成立,是“函数”．
（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，求出．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将用代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．

(1)若是“函数”，则存在常数对，使得.

即，对恒成立，而最多有两个解,

所以不是“函数”.

若是函数，则存在常数对，使得，

即存在常数对满足条件.

所以是“函数”.

(2) 是“函数”,设常数对满足，

恒成立.

当时，不是常数.

所以，.

.

所以恒成立.

即 ，即,所以，.

又当以，.

所以当是一个“函数”时，.

(3) 函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对和.

所以, ,

由得.

因为时，的值域为.

当时，，由

所以时，的值域为.

又 有，即.

所以是以2为周期的函数.

当时的值域为：.