Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出DE⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系D-xyz，由∠DBE=60°，推导出DE=3

6

，AF=

6

，由此利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．
（Ⅲ）设M（t，t，0）．则

AM

=（t-3，t，0），用向量法能确定点M坐标为（2，2，0），使得AM∥平面BEF．

解答： （Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DE⊥AC．…2分
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE．…4分
（Ⅱ）解：∵DA，DC，DE两两垂直，
∴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
∵BE与平面ABCD所成角为60°，
即∠DBE=60°，…5分
∴

ED

DB

=

3

，由AD=3，
知DE=3

6

，AF=

6

．…6分
则A（3，0，0），F（3，0，

6

），
E（0，0，

6

），B（3，3，0），C（0，3，0）
∴

BF

=（0，-3，

6

），

EF

=（3，0，-2

6

），…7分
设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），
则

n• BF =0 n• EF =0

，即

-3y+ 6 z=0 3x-2 6 z=0

，
令z=

6

，则n=（4，2，

6

）．…8分
∵AC⊥平面BDE，所以

CA

为平面BDE的法向量，

CA

=（3，-3，0），
∴cos＜n，

CA

＞=

n• CA

|n|| CA |

=

6

3 2 × 26

=

13

13

．…9分
∵二面角为锐角，∴二面角F-BE-D的余弦值为

13

13

．…10分
（Ⅲ）解：点M是线段BD上一个动点，
设M（t，t，0）．则

AM

=（t-3，t，0），
∵AM∥平面BDE，∴

AM•n

=0，…11分
即4（t-3）+2t=0，解得t=2．…12分
此时，点M坐标为（2，2，0），BM=

1

3

BD，符合题意．…13分

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点M的坐标的确定与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．