题目内容

4．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}}\end{array}\right.$（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，求直线被曲线C截得的弦长．

分析 （1）先把参数方程化成普通方程，再利用直角坐标与极坐标的对应关系得出极坐标方程；
（2）求出直线的直角坐标方程，求得圆心到直线的距离，根据垂径定理求出弦长．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}}\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为（x-3）2+（y-1）2=10．
即x2+y2-6x-2y=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入普通方程得ρ2-6ρcosθ-2ρsinθ=0．
∴曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ．
（2）直线的直角坐标方程为y-x-1=0，
∴圆心C（3，1）到直线的距离d=$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴直线被曲线C截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．

练习册系列答案
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