Question

14．针对当前市场的低迷，企业在不断开拓市场的同时，也在不断的加强产品质量的管理．我市某企业从生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（1）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（2）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．

Answer 1

分析 （1）设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，由题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，由此能求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率．
（2）由频率分布直方图得区间[45，55）内有30件，区间[55，65）内有20件，区间[65，75）内有10件，用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，区间[45，55）内抽取3件，区间[55，65）内抽取2件，区间[65，75）内抽取1件，由此能求出这2件产品都在区间[45，65）内的概率．

解答 解：（1）设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，
由题意得（0.004+0.012+0.019+0.030）×10+4x+2x+x=1，
解得x=0.05．
（2）由频率分布直方图得区间[45，55）内有0.03×10×100=30件，
区间[55，65）内有0.2×100=20件，
区间[65，75）内有0.1×100=10件，
用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，
则区间[45，55）内抽取6×$\frac{30}{30+20+10}$=3件，
区间[55，65）内抽取6×$\frac{20}{30+20+10}$=2件，
区间[65，75）内抽取6×$\frac{10}{30+20+10}$=1件，
将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
这2件产品都在区间[45，65）内包含的基本事件个数m=${C}_{5}^{2}$=10，
∴这2件产品都在区间[45，65）内的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{10}{15}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．