Question

9．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}-a（x＜1）\\ ln（x+a）（x≥1）.\end{array}\right.$其中a＞-1．
①当a=0时，若f（x）=0，则x=1；
②若f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围[e^e-1-1，+∞）．

Answer 1

分析 ①求出当a=0时的f（x）解析式，由f（x）=0，可得lnx=0，即可得到x的值；
②由题意可得a＞-1，且e-1≤ln（1+a），解不等式即可得到所求范围．

解答 解：①当a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
由f（x）=0，可得lnx=0，解得x=1．
②若f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，
可得f（x）在x＜1为递增，在x≥1为递增函数，
可得a＞-1；
由增函数的定义可得e-1≤ln（1+a），
解得a≥e^e-1-1．
综上可得a的范围是[e^e-1-1，+∞）．
故答案为：1，[e^e-1-1，+∞）．

点评 本题考查分段函数的运用，考查分段函数的自变量的求法和单调性的判断，注意运用指数函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．