Question

【题目】如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形， 底面， ，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析： 连接，交于点，设中点为，连接， ，先证出，再证出平面，，结合面面垂直的判定定理即可证平面平面；

先证明，设的中点为，连接，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，运用解三角形知识求其正弦值。

解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接， ．

∵， 分别为， 的中点，

∴，且，

∵，且，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，∴，即，

∵平面， 平面，∴，

∵是菱形，∴．

∵，∴平面，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）因为直线与平面所成角为，

所以，所以，

所以，故为等边三角形，

设的中点为，连接，则 ，

设点到平面的距离为，点到平面的距离为，

则由，得（*）

因为面， 面，所以，

又， ，∴面；

因为， 平面， 面，所以面，

所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，

因为， ，所以，

又，代入（*）得，所以，

设与平面所成角的正弦值为．