Question

（2012•德阳二模）如图，ABCD为正方形，PA丄面ABCD，E，F分别为BC、CD的中点，PA=AD=2．
（1）求证：面PFD丄面PAD；
（2）求面PAE与面PFD所成的锐二面角．

Answer 1

分析：（1）先证明CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定，证明面PFD丄面PAD；
（2）建立开具直角坐标系，求出平面APE的一个法向量

m

=(1，-2，0)，平面PDF的一个法向量

n

=(0，1，1)，利用向量的夹角公式，即可求得面PAE与面PFD所成的锐二面角．

解答：（1）证明：∵PA丄面ABCD，CD?面ABCD，∴PA丄CD
∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD
∵PA∩DA=A，∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面PCD
∴面PFD丄面PAD；
（2）建立如图所示的直角坐标系，

则

AP

=(0，0，2)，

AE

=（2，1，0），
设平面APE的一个法向量为

m

=(x，y，z)，则

2z=0 2x+y=0

，∴可取

m

=(1，-2，0)
设平面PDF的一个法向量为

n

=(x′，y′，z′)，∵

PD

=(0，2，-2)，

DF

=(1，0，0)
∴

2y′-2z′=0 x′=0

，∴可取

n

=(0，1，1)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-2

5 × 2

=-

10

5

∴面PAE与面PFD所成的锐二面角为arccos

10

5

．

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定方法，正确运用空间向量解决空间角问题，属于中档题．