Question

（2012•德阳二模）已知数列{a_n}中，a₁≠0，前n项和为Sn，S_n=pⁿ+q，则{a_n}为等比数列是q=-1的（　　）

A．必要非充分条件

B．充分非必要条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件

Answer 1

分析：由于{a_n}为等比数列，a₁≠0，则数列{a_n}的前n项和Sn=

a1(1-pn)

1-p

=

-a1

1-p

•pn+

a1

1-p

=pⁿ+q，则q=-1；由q=-1时，若令p=1，则a₁=S₁=0与a₁≠0矛盾；故得正确答案．

解答：解：由于{a_n}为等比数列，a₁≠0，不妨设{a_n}的公比是p，
则数列{a_n}的前n项和Sn=

a1(1-pn)

1-p

=

-a1

1-p

•pn+

a1

1-p

，
而S_n=pⁿ+q，所以-

a1

1-p

=1，

a1

1-p

=-1．即q=-1；
由于q=-1，若p=1时，则a₁=S₁=p¹+q=1¹-1=0与a₁≠0矛盾．
故{a_n}为等比数列是q=-1的充分不必要条件．
故答案选B．

点评：本题考查的知识点是：判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件；
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
对四个答案逐一进行判断，不难得到正确的结论．