Question

1．已知$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=9$．
（Ⅰ）求向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ；
（Ⅱ）求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$及向量$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将已知等式展开转化为两个向量的模压机数量积的计算问题，利用数量积公式求θ；
（Ⅱ）根据投影的定义，利用数量积公式解答．

解答 解：（Ⅰ）因为$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=1$，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=9$．
所以$4{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=9$，即16-8cosθ-3=9，
所以cosθ=$\frac{1}{2}$，
因为θ∈[0，π]，
所以$θ=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{3}=1$，
所以$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=5，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}=\sqrt{7}$，
所以向量$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影为：$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}=\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的夹角以及一个向量在另一个向量的投影；关键是熟练掌握数量积公式以及几何意义．