Question

11．已知$|\overrightarrow a|=2|\overrightarrow b|，|\overrightarrow b|≠0$，且关于x的函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}|\overrightarrow a|{x^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow bx$在R上有极值，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角范围为（　　）

• A． $[0，\frac{π}{6}）$
• B． $（\frac{π}{6}，π]$
• C． $（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$
• D． $（\frac{π}{3}，π]$

Answer 1

分析 根据函数在实数上有极值求出导函数，使得导函数等于零有解，即一元二次方程有解，判别式大于零，得到 $\overrightarrow{b}$的模与两向量数夹角余弦值的不等关系，求出角的范围．

解答 解：因为$|\overrightarrow a|=2|\overrightarrow b|，|\overrightarrow b|≠0$，且关于x的函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}|\overrightarrow a|{x^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow bx$=$\frac{1}{3}{x}^{3}+|\overrightarrow{b}|{x}^{2}+2|\overrightarrow{b}{|}^{2}cosθ•x$在R上有极值，
所以f'（x）=x²+2|$\overrightarrow{b}|$x+2|$\overrightarrow{b}$|²cosθ=0在R上有不等实根，所以判别式△=4|$\overrightarrow{b}$|²-8|$\overrightarrow{b}$|²cosθ＞0，所以cosθ＜$\frac{1}{2}$，所以θ∈（$\frac{π}{3}$，π]；
故选：D．

点评 本题考查了函数的极值与数量积结合的问题；关键是由函数有极值得到关于向量的夹角的不等关系，属于中档题．