题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在坐标原点，且经过点
，它的一个焦点与抛物线
的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为
的直线过点
，且与抛物线
交于
两点，设点
，
的面积为
，求的值；
（3）若直线
过点
，且与椭圆交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，直线
的纵截距为
，证明：
为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
（1）把点
坐标代入椭圆方程得
，再结合焦点坐标可求得
得椭圆方程；
（2）设直线
，设
，直线方程代入抛物线方程后可得
，由弦长公式求得
，求出
到直线
的距离，可表示出三角形面积，从而求得
；
（3）设
，得
，由
两点坐标得出直线
方程，求出
，同样由
两点坐标求出直线
方程，从而求出
，计算
，注意两点在椭圆上，有
，
，代入后可得常数．
[解]（1）设椭圆的方程为
，由题设得
，
，椭圆
的方程是
（2）设直线，设，由得
得
.
与抛物线
有两个交点，
，
，
，
则
到的距离
，又
，
，故.
（3）设，点
关于
轴的对称点为，
则直线
，设
得
直线
，设得
，又，，
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