Question

试求函数y=

3•2x

2x-2

的定义域和值域．

Answer 1

分析：先根据分母不为0确定x≠1，进而求得函数的定义域；
解法1：将y=

3•2x

2x-2

变形为：2x=

2y

y-3

＞0，由指数函数的性质进而可知y＞3或y＜0，
解法2：设2^x=t，利用换元法将原函数变成y=

3t

t-2

=3+

6

t-2

(t＞0)，利用分式函数的性质求得函数的值域．

解答：解：（1）由2^x-2≠0⇒x≠1，故定义域为{x∈R|x≠1}；
（2）解法1：由2x=

2y

y-3

＞0⇒2y(y-3)＞0，故值域为{y∈R|y＞3或y＜0}
解法2：设2^x=t，则y=

3t

t-2

=3+

6

t-2

(t＞0)，由

1

t-2

＞0或

1

t-2

＜-

1

2

，
进一步可得值域为{y∈R|y＞3或y＜0}．

点评：本题主要考查了函数的值域和定义域．作为函数的基础题型，应掌握一些求函数定义域和值域的方法