Question

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间；
（3）试说明函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象如何变换而得到？

Answer 1

分析：（1）根据正弦函数图象的对称轴方程，得函数f（x）图象的对称轴方程为2x+φ=

π

2

+kπ（k∈Z）．再将x=

π

8

代入得到关于φ的等式，结合-π＜φ＜0可得φ的值；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x-

3π

4

），由正弦函数的单调区间公式，建立关于x的不等式，解之即可得到y=f（x）的单调增区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答：解：（1）∵x=

π

8

是函数图象的一条对称轴，
∴sin（2×

π

8

+φ）=±1，
∴

π

4

+φ=

π

2

+kπ（k∈Z），
∵-π＜φ＜0，∴φ=-

3

4

π．
（2）由（1）知，∴φ=-

3

4

π，
∴f(x)=sin(2x-

3π

4

)，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

3π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z
故函数函数f（x）的单调递增区间是{x|kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z}．
（3）把函数y=sinx的图象向右平移

3π

4

个单位，
再把图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

倍，即可可得 f（x）=sin（2x-

3π

4

）的图象．

点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴，求函数的解析式并求单调增区间．着重考查了三角函数的图象与性质和函数的单调性以图象的对称性等知识，属于中档题．