Question

记函数f(x)=

x-1

ax+1

 (a≠0且a≠-1)．
（1）试求函数f（x）的定义域和值域；
（2）已知函数h（x）=f（2^x），且函数y=h（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）记函数g（x）=h（x-1）+1，试计算g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）的值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）=

x-1

ax+1

分离出常数，得到f（x）=

1

a

-

1 a +1

ax+1

，即可求得函数f（x）的定义域和值域；
（2）由h（x）=f（2^x）=

2x-1

a•2x+1

，利用h（-x）=-h（x）即可求得a的值；
（3）由题意可得y=g（x）的图象关于点（1，1）对称，于是对任意的x₁，x₂∈R，都有当x₁+x₂=2时，g（x₁）+g（x₂）=2，从而可得答案．

解答：.解：（1）∵f（x）=

x-1

ax+1

=

1 a (ax+1)- 1 a -1

ax+1

=

1

a

-

1 a +1

ax+1

，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠-

1

a

，x∈R}；值域为{y|y≠

1

a

，y∈R}，
 （2）h（x）=f（2^x）=

2x-1

a•2x+1

，
因为，y=h（x）为奇函数，所以h（-x）=-h（x），
即

2x-1

a•2x+1

=-

2-x-1

a•2-x+1

=

2x-1

a+2x

，
整理得2^2x-a=a•2^2x-1对任意x成立，所以a=1．
 （3）因为g（x）=h（x-1）+1，所以y=g（x）的图象是由奇函数y=h（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，
即y=g（x）的图象关于点（1，1）对称，从而对任意的x₁，x₂∈R，都有当x₁+x₂=2时，g（x₁）+g（x₂）=2，
∴g（-1）+g（3）=g（0）+g（2）=2，又g（1）=1，
∴g（-1）+g（0）+g（1）+g（2）+g（3）=5．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，考查函数的图象与图象变化，突出转化思想的考查运用，考查中心对称问题，综合性强，运算量大，是难题．