Question

已知椭圆的焦距为，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程.
（2）设斜率为的直线与相交于、两点，记面积的最大值为，证明：.

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

解析试题分析：（1）利用题干中的已知条件分别求出、、，从而写出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，借助韦达定理求出弦长，并求出原点到直线的距离，然后以为底边，为高计算的面积，利用基本不等式验证时和时的最大面积与，从而证明题中的结论.
试题解析：（1）由题意，得椭圆的半焦距，右焦点，上顶点，
所以直线的斜率为，
解得，
由，得，
所以椭圆W的方程为；
（2）设直线的方程为，其中或，，.
由方程组得，
所以，（*）
由韦达定理，得，.
所以.
因为原点到直线的距离，
所以，
当时，因为，
所以当时，的最大值，
验证知（*）成立；
当时，因为，
所以当时，的最大值；
验证知（*）成立.
所以.
注：本题中对于任意给定的，的面积的最大值都是.
考点：1.椭圆的方程；2.弦长公式；2.点到直线的距离；4.基本不等式