Question

已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1).（2）见解析；(3)存在，使得以为直径的圆恒过直线、的交点.

解析试题分析：(1)由已知:,可得,,可得椭圆方程为.
（2）由（1）知，设.根据知.
由消去,整理得:,
应用韦达定理得
利用平面向量的坐标运算即得(定值).
(3)以为直径的圆恒过的交点,
由，建立Q坐标的方程.
试题解析：(1)由已知:,,,
所以椭圆方程为.          4分
（2）由（1）知，.
由题意可设.

由消去,整理得:,

.,

(定值).    9分
(3)设.
若以为直径的圆恒过的交点,
则.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以为直径的圆恒过直线、的交点.          13分
考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的坐标运算.