Question

平面直角坐标系xoy中，动点满足：点P到定点与到y轴的距离之差为．记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线于点D，求证：直线DB平行于x轴．

Answer 1

（1），（2）详见解析.

试题分析：（1）求动点轨迹方程，首先设动点坐标，本题已设，其次列动点满足条件，然后利用坐标化简关系式，即，，最后要考虑动点满足限制条件，本题为已知条件，另外本题对条件的化简也可从抛物线的定义上理解，这样更快，（2）证明直线平行于轴，可利用斜率为零，或证明纵坐标相等，总之都需要从坐标出发.注意到点在抛物线上，设点的坐标可简洁，设的坐标为 ，利用三点共线解出点的纵坐标为，根据直线与直线的交点解出的纵坐标也为.
试题解析：（1）依题意：             2分
      4分
                6分
注：或直接用定义求解.
（2）法1：设，直线的方程为
由   得           8分

直线的方程为 点的坐标为    2分

直线平行于轴.              14分
法2：设的坐标为，则的方程为
点的纵坐标为，             8分
 直线的方程为
点的纵坐标为.           12分
轴；当时，结论也成立，
直线平行于轴.               14分