Question

已知动圆过定点（1,0），且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和,①当时，求证直线恒过一定点；
②若为定值，直线是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）①参考解析，②

试题分析：（1）根据题意可假设抛物线方程为，由抛物线的定义可求得的值，从而可求得抛物线的方程.
（2）根据题意假设直线AB的方程，联立抛物线的方程，消去y得到一个关于x的一元二次方程，由韦达定理得到A,B两点坐标的等式.①由直线的垂直可得到A,B坐标的一个等式，从而可化简直线AB的方程即可得到结论.②当为一个一般的定值时，需要分类讨论，解决问题的方法类似于①小题，同样是通过A,B的斜率关系得到一个等式，从而得到结论.
试题解析：(1)设动圆圆心M(x,y),
依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线其方程为.
(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).由题意得x₁≠x₂(否则)且x₁x₂≠0,则
所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,
则将y=kx+b与y²=4x联立消去x,得ky²－4y+4b=0
由韦达定理得-------※
①当=时,所以,所以y₁y₂=16,又由※知:y₁y₂=所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0).
②当为定值时.若=,由①知,
直线AB恒过定点M(－4,0)当时,由,得==
将※式代入上式整理化简可得:,所以,此时,直线AB的方程可表示为y=kx+,所以直线AB恒过定点所以当时,直线AB恒过定点(－4,0).,
当时直线AB恒过定点