Question

已知抛物线C₁:y=x²+2x和C₂：y=-x²+a.如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.

(1)a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程.

(2)若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

Answer 1

（1）解：函数y=x²+2x的导数y′=2x+2,曲线C₁在点P(x₁,x²₁+2x₁)的切线方程是y-(x²₁+2x₁)=(2x₁+2)(x-x₁),即y=(2x₁+2)x-x²₁.　　①

函数y=-x²+a的导数y′=-2x,曲线C₂在点Q（x₂,-x²₂+a）的切线方程是y-(-x²₂+a)=-2x₂(x-x₂),即y=-2x₂x+x²₂+a.　　②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程消去x₂得方程2x²₁+2x₁+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).

由Δ=0，得a=-,解得x₁=-,此时P与Q重合，即当a=-时，C₁和C₂有且仅有一条公切线.

由①得公切线方程为y=x-.

(2)证明：由（1）可知，当a＜-时，C₁和C₂有两条公切线，设一条公切线上切点为P（x₁,y₁）、Q(x₂,y₂),其中P在C₁上，Q在C₂上，则有x₁+x₂=-1,y₁+y₂=x²₁+2x₁+(-x²₂+a)=x²₁+2x₁-(x₁+1)²+a=-1+a，线段PQ的中点为（）.

同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是（）,

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.