题目内容

如图,已知抛物线C1:y=x2,与圆C2:x2+(y+1)2=1,过y轴上一点A(0,a)(a＞0)作圆C2的切线AD,切点为D(x0,y0).

(1)证明(a+1)(y0+1)=1;

(2)若切线AD交抛物线C1于点E,且E为AD的中点,求点A纵坐标a.

(1)证明:因为AD是圆C2:x2+(y+1)2=1的切线,

所以AD⊥C2D.

于是有×=-1,

即x02+y02+y0-ay0-a=0.① 

又因为x02+(y0+1)2=1,② 

由②-①得y0+ay0+a+1=1,即(a+1)(y0+1)=1,结论成立.

(2)解:因为E为AD的中点,其坐标为(,),

所以=()2,即2y0+2a=x02.

又因为D(x0,y0)在圆上,所以2y0+2a=1-(y0+1)2,即y02+4y0+2a=0,

将a=-1代入整理,得y0(y02+5y0+2)=0,y0≠-1.

得y0=0(因为切线为x轴,显然不符合题意,舍去),

或y0=或y0=＜-2(不满足圆的条件,舍去),

所以y0=.

再由a=-1==.

练习册系列答案
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（2013•嘉兴二模）如图，已知抛物线C1：x2=2py的焦点在抛物线C2：y=
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x2+1上，点P是抛物线C1上的动点．
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精英家教网如图，已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2=
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交于M、N两点，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C2相切．
（ⅰ）若直线l与抛物线C1也相切，求直线l的方程；
（ⅱ）若直线l与抛物线C1交与不同的A、B两点，求
OA
•
OB
的取值范围．

（14分）如图，已知抛物线C1： y=x2, 与圆C2： x2+(y+1)2="1," 过y轴上一点A（0, a）（a>0）作圆C2的切线AD，切点为D（x0, y0）.

（1）证明：(a+1)(y0+1)=1

（2）若切线AD交抛物线C1于E，且E为AD的中点，求点A纵坐标a.

 
如图，已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆交于M、N两点，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C2相切．
（ⅰ）若直线l与抛物线C1也相切，求直线l的方程；
（ⅱ）若直线l与抛物线C1交与不同的A、B两点，求的取值范围．

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