Question

13．对定义域分别是D_f，D_g的函数f（x）和g（x），有如下定义函数$h（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x）g（x），x∈{D_f}且x∈{D_g}}\\{f（x），x∈{D_f}且x∉{D_g}}\\{g（x），x∉{D_f}且x∈{D_g}}\end{array}}\right.$
（1）若函数$f（x）=\frac{1}{x+1}，g（x）={x^2}$，写出h（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，证明函数h（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）直接根据题中新定义分三类求函数的解析式；
（2）运用单调性的定义，即利用作差比较法证明函数的单调性．

解答 解：（1）因为$f（x）=\frac{1}{x+1}，g（x）={x^2}$，
所以，D_f=（-∞，-1）∪（-1，+∞），D_g=（-∞，+∞），
根据h（x）的定义，分三类讨论如下：
①当x∈D_f且x∈D_g，得x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），此时，h（x）=f（x）g（x）=$\frac{x^2}{x+1}$；
②当x∈D_f且x∉D_g，得x∈∅；
③当x∉D_f且x∈D_g，得x=-1，此时，h（x）=g（x）=x²=1，
综合以上讨论得，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{x+1}，x≠-1}\\{1，x=-1}\end{array}\right.$；
（2）当x∈（0，1）时，h（x）=$\frac{x^2}{x+1}$，
任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则$h（{x_1}）-h（{x_2}）=\frac{x_1^2}{{{x_1}+1}}-\frac{x_2^2}{{{x_2}+1}}$
=$\frac{{x_1^2{x_2}+x_1^2-x_2^2{x_1}-x_2^2}}{{（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）}}=\frac{{{x_1}{x_2}（{{x_1}-{x_2}}）+（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}+{x_2}}）}}{{（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）}}$
=$\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}}）}}{{（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）}}$，
由于（x₁+1）（x₂+1）＞0，x₁x₂+x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，
故h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
由函数单调性的定义可知，h（x）在（0，1）上单调递增．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法，以及分段函数的表示，并用作差比较法证明函数的单调性，属于中档题．