Question

已知函数的图象经过其中为自然对数的底数，．
（Ⅰ）求实数；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的，都有成立．

Answer 1

（Ⅰ）由的图象过点得
．                      
（Ⅱ）        
由知 ，令，故在上为增函数，当时，
令得，令得，，令得
故的增区间为，减区间为．                            
（Ⅲ）由（2）知，在区间上的最小值为    
即当时，恒成立
当时，令，则有
即                                             
故成立．                      

略