Question

. f(x)=

（Ⅰ）求证： ;

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）证明：，则，设，则，                          ………………………2分

当时，，即为增函数，所以，

即在时为增函数，所以              ………………………4分

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知时，，，所以，                                 ………………………6分

设，则，设，则，

当时，所以为增函数，所以，所以为增函数，所以，所以对任意的恒成立.                                                         ………………………8分

又，时，，所以时对任意的恒成立.                                                                ………………………9分

当时，设，则，

，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，所以在时，所以时不符合题意.

综上，实数的取值范围为.                           …………………………12分

（Ⅱ）解法二：因为等价于…………6分

设，

则

可求，                              ……………………………8分

所以当时，恒成立，在是增函数，

所以，即，即

所以时，对任意恒成立。……………………………9分

当时，一定存在，满足在时，，所以在是减函数，

此时一定有，即，即，不符合题意，故不能满足题意，

综上所述，时，对任意恒成立。……………………12分