Question

如图，已知直线l₁∥l₂，点A是l₁，l₂上两直线之间的动点，且到l₁距离为4，到l₂距离为3，若与直线l₂交于点C，则△ABC面积的最小值为（ ）

A．3
B．6
C．12
D．18

Answer 1

【答案】分析：过A作直线l₁的垂线交点分别为E和F，由l₁∥l₂，得到直线EF也与l₂垂直，从而得到AE及AF的值，由两向量的数量积积为0得到两向量垂直，即AB与AC垂直，设∠FAC=θ，则有∠EAB=-θ，分别在直角三角形AEB和AFC中，由AE，AF，及设出的角度利用余弦函数定义表示出AB积AC，由三角形ABC为直角三角形，用直角边AB与AC的乘积表示出三角形的面积，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，根据正弦函数的值域即可得到面积的最小值．
解答：
解：过A作l₁的垂线，与l₁，l₂分别交于点E和F，又l₁∥l₂，故直线EF也与l₂垂直，
则根据题意得AE=4，AF=3，
∵，∴AB⊥AC，即∠BAC=，
令∠FAC=θ，则∠EAB=-θ，
∴cosθ=，则AC=，
同理可得AB=，
∴S_△ABC=AB•AC===≥12，
则△ABC的面积最小值为12．
故选C
点评：此题考查了平面向量数量积的运算，锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域，诱导公式及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，过A作出已知直线的垂线EF是解本题的关键．