Question

点A是函数f（x）=x³+4x+5的图象在x=1处的切线上的点，则点A到圆2x²+2y²-8x-8y+15=0的最短距离为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2

• D．

  3 2

  2

Answer 1

分析：求出函数在x=1处的导数，就是这点处切线的斜率，求出切线方程，将圆心代入点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，减去半径可得答案．

解答：解：因为函数f（x）=x³+4x+5，所以f′（x）=3x²+4，
所以函数f（x）=x³+4x+5的图象在x=1处的切线的斜率为：k=7，切点坐标为（1，10）
所以切线方程为：y-10=7（x-1），即7x-y+3=0，
圆2x²+2y²-8x-8y+15=0的圆心（2，2）到直线的距离d=

|2×7-2+3|

72+1

=

3 2

2

大于圆的半径

2

2

，
所以直线与圆相离，
则点A到圆2x²+2y²-8x-8y+15=0的最短距离为

3 2

2

-

2

2

=

2

故选C．

点评：本题是中档题，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，直线与圆的位置关系，考查计算能力．