题目内容

如图所示，在直角梯形OABC中， $数学公式$ ，OA=OS=AB=1，OC=2，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．

解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O-xyz，则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0）

，所以N（ $\text{[math]}$ ，0，0），M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（1，-1，0）
∴直线MN与BC所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴直线MN与BC所成角为 $\text{[math]}$ ；
（2）设平面SAB的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（a，b，c）
$\text{[math]}$ =（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0
$\text{[math]}$ =（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0
令b=1可得法向量 $\text{[math]}$ =（0，1，1）
∵ $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$
∴直线MN与面SAB所成角为 $\text{[math]}$
分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．
（2）欲求MN与面SAB所成的角的正弦值，先利用待定系数法求出平面SAB的一个法向量，最后用向量夹角公式求解即可
点评：本题考查用向量法研究直线与平面所成的角和异面直线所成的角，选用向量法，避开了作辅助线，优越性很强，属于中档题．