Question

如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AB⊥AP，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，现将△PCD沿折线CD折成直二面角P-CD-A，设E，F分别是PD，BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中点M，连接EM，MF，EF，证明平面EMF∥平面PAB，可得EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明PD⊥平面ABCD，求出BE，利用等体积求出E到平面PAB的距离，从而可求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取AD中点M，连接EM，MF，EF，则
∵E，F分别是PD，BC的中点，
∴EM∥PA，MF∥AB
∵EM∩MF=M，PA∩AB=A
∴平面EMF∥平面PAB
∵EF?平面EMF
∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）解：∵二面角P-CD-A为直二面角，AD⊥DC
∴AD⊥平面PDC
∵PD?平面PDC，∴PD⊥AD
∵PD⊥DC，AD∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD
设E到平面PAB的距离为h，连接BD，则BD=3

2

，
∵PD=4，∴PB=

34

，BE=

22

∵PA=5，AB=3，∴PA⊥AB，∴S△PAB=

1

2

×3×5=

15

2

∵S△PAE=

1

2

×2×3=3
∴由等体积可得：

1

3

×3×3=

1

3

×

15

2

×h，∴h=

6

5

∴直线BE与平面PAB所成角的正弦值为

6 5

22

=

3 22

55

．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及线面角的度量，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．