Question

如图所示，在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OA=OS=AB=1，OC=2，点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求MN与面SAB所成的角．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．
（2）欲求MN与面SAB所成的角的正弦值，先利用待定系数法求出平面SAB的一个法向量，最后用向量夹角公式求解即可

解答：解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O-xyz，则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），所以N（

1

2

，0，0），M（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

MN

=（0，-

1

2

，-

1

2

），

BC

=（1，-1，0）
∴直线MN与BC所成角的余弦值为

MN • BC

| BC || MN |

=

1

2

∴直线MN与BC所成角为

π

3

；
（2）设平面SAB的一个法向量为

n

=（a，b，c）

n

•

SB

=（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0

n

•

SA

=（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0
令b=1可得法向量

n

=（0，1，1）
∵

MN

=（0，-

1

2

，-

1

2

），
∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为|

MN • n

| MN || n |

|=

1

2

∴直线MN与面SAB所成角为

π

6

点评：本题考查用向量法研究直线与平面所成的角和异面直线所成的角，选用向量法，避开了作辅助线，优越性很强，属于中档题．