Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若

AB

=

1

2

.

BC

，则双曲线的离心率是（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

• D、

  10

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线l和两个渐近线的交点，进而根据

AB

=

1

2

.

BC

，求得a和b的关系，根据c²-a²=b²，求得a和c的关系，则离心率可得．

解答： 解：直线l：y=x+a与渐近线l₁：bx-ay=0交于B（

a2

b-a

，

ab

b-a

），
l与渐近线l₂：bx+ay=0交于C（-

a2

b+a

，-

ab

b+a

），
∵A（a，0），

AB

=

1

2

.

BC

，
∴（

a2

b-a

-a，

ab

b-a

）=

1

2

（-

a2

b+a

-

a2

b-a

，-

ab

b+a

-

ab

b-a

），
∴

a2

b-a

-a=

1

2

（-

a2

b+a

-

a2

b-a

）
∴b=2a，
∴c²-a²=4a²，
∴e²=

c2

a2

=5，∴e=

5

，
故选：C．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．