Question

14．已知函数$f（x）=\frac{e^x}{x}$．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x-lnx）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P的坐标为（x₀，y₀），$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，由题意列出方程组，能求出点P的坐标．
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-a（x-lnx）=$\frac{e^x}{x}-a（x-lnx）$，$g'（x）=\frac{{（{e^x}-ax）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），设h（x）=e^x-ax，x∈（0，+∞），则h'（x）=e^x-a，由此利用分类讨论和导数性质能证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x-lnx）．

解答 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x₀，y₀），$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，
由题意知$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{e^{x_0}}（{x_0}-1）}}{{{x_0}^2}}=k\\ \frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}=k{x_0}\end{array}\right.$解得x₀=2，所以${y_0}=\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}=\frac{e^2}{2}$，
从而点P的坐标为$（2，\frac{e^2}{2}）$．
证明：（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-a（x-lnx）=$\frac{e^x}{x}-a（x-lnx）$，
$g'（x）=\frac{{（{e^x}-ax）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），
设h（x）=e^x-ax，x∈（0，+∞），则h'（x）=e^x-a，
①当a≤1时，因为x＞0，所以e^x＞1，所以h'（x）=e^x-a＞0，
所以h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=1＞0；
②当1＜a≤e时，令h'（x）=0，则x=lna，
所以x∈（0，lna），h'（x）＜0；x∈（lna，+∞），h'（x）＞0．
所以h（x）≥h（lna）=a（1-lna）≥0，
由①②可知：x∈（0，+∞）时，有h（x）≥0，
所以有：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↓	极小值	↑

所以g（x）_min=g（1）=e-a≥0，从而有当x∈（0，+∞）时，f（x）≥a（x-lnx）．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．