Question

（1）当x＞0时，求证：2-

e

x

≤lnx≤

x

e

；
（2）当函数y=a^x（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，求a的值；
（3）讨论函数y=a^|x|-|x|（a＞0且a≠1）的零点个数．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）令f（x）=lnx+

e

x

-2，g（x）=lnx-

x

e

，利用导数法可得f（x）=lnx+

e

x

-2≥0，g（x）=lnx-

x

e

≤0，在当x＞0时恒成立，进而得到2-

e

x

≤lnx≤

x

e

；
（2）令h（x）=a^x-x，（a＞1），可得当x=log_a（log_ae）时，h（x）取最小值log_ae-log_a（log_ae），若函数y=a^x（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，则h（x）=a^x-x有且仅有一个零点，则log_ae-log_a（log_ae）=0，进而求得a值；
（3）结合（2）的结论，分当a＞

e	e

时、当a=

e	e

时、当1＜a＜

e	e

时、当a＜1时四种情况，可得函数y=a^|x|-|x|（a＞0且a≠1）的零点个数．

解答： 证明：（1）当x＞0时，
令f（x）=lnx+

e

x

-2，
则f′（x）=

1

x

-

e

x2

=

x-e

x2

，
当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，
故当x=e时，f（x）取最小值0，
即f（x）=lnx+

e

x

-2≥0，
即

e

x

≤lnx，
令g（x）=lnx-

x

e

，
则g′（x）=

1

x

-

1

e

=

e-x

ex

，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
即g（x）=lnx-

x

e

≤0，
即lnx≤

x

e

，
综上可得：当x＞0时，

e

x

≤lnx≤

x

e

（2）令h（x）=a^x-x，（a＞1），
则h′（x）=a^xlna-1，
令h′（x）=0，
则x=log_a（log_ae），
当x∈（0，log_a（log_ae））时，h′（x）＜0，当x∈（log_a（log_ae），+∞）时，h′（x）＞0，
故当x=log_a（log_ae）时，h（x）取最小值log_ae-log_a（log_ae），
若函数y=a^x（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，
则h（x）=a^x-x有且仅有一个零点，
则log_ae-log_a（log_ae）=0，
则e=log_ae，即a=

e	e

（3）由（2）可得：
当a＞

e	e

时，h（x）=a^x-x无零点，此时函数y=a^|x|-|x|无零点，
当a=

e	e

时，h（x）=a^x-x有且仅有一个零点，此时函数y=a^|x|-|x|有且仅有两个零点，
当1＜a＜

e	e

时，h（x）=a^x-x有两个正零点，此时函数y=a^|x|-|x|有四个零点，
当a＜1时，h（x）=a^x-x有一个正零点，此时函数y=a^|x|-|x|有两个零点．

点评：本题考查的知识点是利用函数单调性证明不等式，函数零点的判定定理，利用导数求函数在闭区间上的最值，是函数，不等式与导数的综合应用，属于难题．