题目内容

①由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比“若
a
，
b
，
c
为三个向量，则（
a
•
b
）•
c
=
a
•（
b
•
c
）”
②设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与坐标轴的4个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，y1）、D（0，y2），则x1x2-y1y2=0；
③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
④在实数列{an}中，已知a1=0，|a2|=|a1-1|，|a3|=|a2-1|，…，|an|=|an-1-1|，则a1+a2+a3+a4的最大值为2．
上述四个推理中，得出的结论正确的是
 
（写出所有正确结论的序号）．
考点：类比推理
专题：推理和证明
分析：逐个验证：（1）向量要考虑方向．
（2）x2+Dx+F=0，y2+Ey+F=0，解为x1，x2，y1，y2，运用根与系数的关系判断即可，
（3）平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；故正确．
（4）在实数数列{an}中，由a1=0，|a2|=|a1-1|，|a3|=|a2-1|…|an|=|an-1-1|，可得a2=±1，分类讨论，可得a3，a4．
解答： 解：（1）由向量的运算可知（
a
•
b
）•
c
与
c
共线，
a
•（
b
•
c
）”与
a
共线，而由向量的运算可知
a
与向量
c
，方向不一定共线，故①错误．
（2）∵设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与坐标轴的4个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，y1）、D（0，y2），
∴x2+Dx+F=0，y2+Ey+F=0，解为x1，x2，y1，y2，
∴x1x2-y1y2=F-F=0，故②正确，
（3）根据在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中
“四面体的任意三个面的面积之和大于第四面的面积，③正确．
（4）在实数数列{an}中，∵a1=0，|a2|=|a1-1|，|a3|=|a2-1|…|an|=|an-1-1|，则a1+a2+a3+a4的最大值为2．
∴a2=±1，
当a2=1时，a3=0，a4=±1，此时a1+a2+a3+a4=2或0．
当a2=-1时，a3=±1，当a3=1时，a4=0；当a3=-1时，a4=2．此时a1+a2+a3+a4=0．
综上可得：a1+a2+a3+a4的最大值为2．因此④正确．
故答案为：②③④
点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．
练习册系列答案
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当a和b取遍所有实数时，f（a，b）=（2a+5-|cosb|）2+（2a-|sinb|）2的最小值为
 
．
如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB=2，E是线段PD上的点．
（1）若PB∥平面AEC，试确定点E在线段PD上的位置；
（2）若二面角E-AC-D的大小为45°，求PE：PD的值；
（3）在（2）的条件下，设点D在平面AEC上的射影为点Q，求点Q到直线AC的距离．
已知点Q（0，3）及抛物线y2=16x上一动点P（x0，y0），则x0+|PQ|的最小值为（　　）
A、1B、2C、4D、5
已知抛物线C顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线C上的点（1，m）到F的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不与x轴垂直的直线l1与抛物线C交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线l2恰好过点M（4，0），求证：线段AB中点的横坐标为定值．
（1）当x＞0时，求证：2-
e
x
≤lnx≤
x
e
；
（2）当函数y=ax（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，求a的值；
（3）讨论函数y=a|x|-|x|（a＞0且a≠1）的零点个数．
已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）-
1
2
．
（Ⅰ）若0＜α＜π，且cosα=
2
2
，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．
设n是给定的正整数，集合M={
1
2n
，
1
2n+1
，…，
1
22n
}，记M的所有子集分别为M1，M2，…，Mt，对1≤i≤t，用S（Mi）表示Mi中所有元素的和，规定S（φ）=0，则
①n=2时S（M1）+S（M2）+…+S（M8）=
 
；
②n∈N*时，S（M1）+S（M2）+…+S（Mt）=
 
．
不等式
2
x
≤1的解集是
 
．

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