题目内容
给出下列四个命题：①“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的必要不充分条件；
②抛物线x=ay2（a≠0）的焦点为（0，
）；③函数f（x）=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于y=x，则（
，+∞）是f（x）的单调递增区间；④
（a＞0），则
=3．其中正确命题的序号是 （请将你认为是真命题的序号都填上）．
【答案】分析：①利用充分条件必要条件的定义进行判断．②利用抛物线的性质进行判断．③利用导数的几何意义以及导数的应用判断．④利用指数幂的运算和对数的运算进行求值．
解答：解：①由x（x-3）＜0得0＜x＜3，由|x-1|＜2得-2＜x-1＜2，解得-1＜x＜3，所以“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的充分不必要条件所以①错误．
②抛物线的标准方程为
，所以对应的焦点坐标为
，所以②错误．
③函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为
，所以f'（1）=2a-1，因为函数f（x）=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于y=x，
则f'（1）=2a-1=1，解得a=1，此时f（x）=x2-lnx，
，由
，解得x
，即函数的单调增区间为（
，+∞），所以③正确．
④由
（a＞0），得
，所以
，所以④正确．
故答案为：③④．
点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．
解答：解：①由x（x-3）＜0得0＜x＜3，由|x-1|＜2得-2＜x-1＜2，解得-1＜x＜3，所以“x（x-3）＜0成立”是“|x-1|＜2成立”的充分不必要条件所以①错误．
②抛物线的标准方程为
，所以对应的焦点坐标为，所以②错误．③函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为
，所以f'（1）=2a-1，因为函数f（x）=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于y=x，则f'（1）=2a-1=1，解得a=1，此时f（x）=x2-lnx，
，由，解得x，即函数的单调增区间为（，+∞），所以③正确．④由
（a＞0），得，所以，所以④正确．故答案为：③④．
点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．
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