题目内容
．圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点
、
是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，
是垂直于
轴的一条垂轴弦，直线
分别交轴于点
和点
。
（1）试用
的代数式分别表示
和
；
（2）若C的方程为
（如图），求证：
是与和点
位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）
、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。（1）试用
的代数式分别表示和；（2）若C的方程为
（如图），求证：是与和点位置无关的定值；（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究
和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）
解．（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以
则
……………. 2分
令
则
……………. 4分
同理可得：
，……………. 6分
（2）由（1）可知：
……………. 8分
在椭圆C：
上，
，
则
（定值）
是与和点位置无关的定值 …………. 12分
（3）第一层次：
①点是圆C：
上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。……………. 16分
证明如下：由（1）知：
在圆C：上，
，
则
是与和点位置无关的定值
②点是双曲线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，
则
。……………. 16分
证明如下：由（1）知：
在双曲线C：
上，
，
则
是与和点位置无关的定值
第二层次：
点是抛物线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。…………. 18分
证明如下：由（1）知：
，
在抛物线C：上，
则
是与和点位置无关的定值
是垂直于轴的一条垂轴弦，所以则
……………. 2分令
则……………. 4分同理可得：
，……………. 6分（2）由（1）可知：
……………. 8分在椭圆C：上，，则
（定值）是与和点位置无关的定值 …………. 12分（3）第一层次：
①点
是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。……………. 16分证明如下：由（1）知：
在圆C：上，，则
是与和点位置无关的定值②点
是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。……………. 16分证明如下：由（1）知：
在双曲线C：上，，则
是与和点位置无关的定值第二层次：
点
是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………. 18分 证明如下：由（1）知：
，在抛物线C：上，则
是与和点位置无关的定值略
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时,其离心率为
此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于( ) 
，P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
、
，试探究是否存在这样的点
：
？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
,
与
轴交于点
,动点
到直线
的距离大
.
的轨迹
的方程; 
两点,若
,求此直线的方程.
，
轴.
时，求P点的坐标。
的值，使
的值最小，并求出最小值。
；② 
；③ 
；④ 
.
有公共点的所有曲线是 （ ）
上，则这个正三角形的边长为
取何值，方程
所表示的曲线一定不是（ ）
所表示的曲线.