Question

1．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求得a-3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，从而求得实数a的值．
（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n-1|+1，即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n-1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x-a|+a，
故不等式f（x）≤6，
即 $\left\{\begin{array}{l}{6-a≥0}\\{a-6≤2x-a≤6-a}\end{array}\right.$，
求得 a-3≤x≤3．
再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}，
可得a-3=-2，
∴实数a=1．
（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x-1|+1，
∴f（n）=|2n-1|+1，存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，
即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．
由于|2n-1|+|2n+1|≥|（2n-1）-（2n+1）|=2，
∴|2n-1|+|2n+1|的最小值为2，
∴m≥4，
故实数m的取值范围是[4，+∞）．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．